Appartenance du point moyen d'un nuage à la droite d'ajustement

D'après un sujet de bac.

Le tableau suivant donne le prix (exprimé en euros) d’une machine industrielle de 2019 à 2024.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année} &2019&2020&2021&2022&2023&2024\\ \hline \text{Rang }x_i\text{ de l'année} &1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{Prix }y_i \text{ (en euros)}&18~300&18~900&19~800&20~400&21~000&21~900\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

1. Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées \((x_i~; y_i)\) associé à cette série statistique. On prendra sur l’axe des abscisses \(2\) cm pour unité, sur l’axe des ordonnées \(1\) cm pour un millier d’euros et en commençant à graduer à partir de \(10~000\).

2. On choisit pour ajustement affine du nuage de points la droite \((D)\) qui a pour équation \(y = 700x +17~600\). Tracer la droite \((D)\) dans le repère orthogonal.

3. Le point moyen d'un nuage est le point dont l’abscisse est la moyenne arithmétique des réels \(x_i\) et dont l’ordonnée est la moyenne arithmétique des réels \(y_i\), pour \(i\) entier variant de \(1\) à \(6\). Le point moyen d'une série statistique à deux variables est une manière de représenter la « position centrale » ou « moyenne » des données dans un plan.
    a. On note \(\text{G}\) le point moyen du nuage de points de cette série statistique. Calculer les coordonnées du point moyen \(\text{G}\) du nuage.
    b. Montrer par le calcul que \(\text{G}\) appartient à la droite \((D)\) et le placer sur le graphique.

4. Déterminer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés utiles, l’estimation du prix de la machine en 2025. Retrouver ce résultat par le calcul.